02-4 : Ondes planes

Hypothèses :

L'onde la plus simple que l'on puisse envisager est l'onde plane.  C'est une onde qui se propage dans un milieu infini, uniforme, homogène et non conducteur dans une direction z supposée infinie et telle que le champs E qui est perpendiculaires à la direction de propagation soit constant. Ce plan perpendiculaire à la direction de propagation est le plan d'onde. On suppose de plus que la polarisation de l'onde ( direction du champ E ) reste constante et que l'amplitude des champs varie de façon sinusoïdale.

Dans ces conditions le champ E s'écrit :

(24-1)

Calcul du champ électrique :

L'équation de propagation de Helmoltz devient pour le champ électrique

  (24-2)

dont la solution est :

(24-3)

en posant :

   soit  (24-4)

est la contante de propagation qui est un nombre réel dans un milieu sans perte.

comme les champs varient sinusoïdalement avec le temps :

(24-5)

L'équation (23) représente deux ondes, l'une correspondant au premier terme se propage dans le sens des z croissants et l'autre correspondant au second terme se propage dans le sens de z décroissants. Nous ne retiendrons dans un premier temps que l'onde qui se propage dans le sens des z positifs, soit :

(24-6)

Calcul du champ électrique :

L'équation de maxwell (4) permet de calculer le champ H à partir du champ E, soit :

(24-7)

(24-8)

(24-9

Or, par l'hypothèse d'une onde plane, les composantes du champ H ne dépendent ni de x ni de y et le champ E n'a qu'une composante selon x, il reste donc :

(24-10)

(24-11)

L'équation (24-11) montre qu'il peut exister un champ H constant, seule l'équation (24-10) nous interesse ici, elle permet d'écrire :

(24-12)

ce qui permet de calculer :

(24-13)

Considérons le terme de l'exponentielle de l'expression de champ électrique ou du champ magnétique (24-6) et (24-12). Supposont que l'onde soit en z=0 à l'instant t =0, alors à l'instant t = dt elle aura parcouru la distance telle que :

  (24-14)

ce qui correspond à une vitesse de :

  (24-15)

Cette expression montre que la vitesse de l'onde dépend des caractéristiques du milieu de propagation.

dans le vide l'équation (24-15) s'écrit :

(24-16)

En remplaçant c par sa valeur donnée par l'expression (24-15), on obtient :

(24-17)

L'onde plane possède donc deux composantes de champs, le champ électrique et le champ magnétique; Ces deux champ sont dans le plan d'onde et sont perpendiculaires entre eux. On remarquera que Ex, Hy et z la direction de propagation forment un trièdre direct.