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Chapitre 5 : ONDES GUIDEES |
Hypothèses
(53-1)
et les conditions aux limites sont :
(53-2)
Les relations générales sont :
(53-3)
qui s'écrivent en coordonnées cylindriques :
(53-4)
(53-5)
Nous allons étudier deux modes : le mode transverse électrique et le mode transverse magnétique
TE
(53-6)
TM Hz=0 (53-7)
Ondes transverses électriques. Ez=0
(53-9)
L'équation de Helmoltz pour Hz s'écrit :
(53-10)
Compte tenu de la symétire de révolution, nous choisissons :
(53-11)
et nous posons :
(53-12)
ce qui donne :
(53-13)
que nous pouvons écrire en séparent les variables :
(53-14)
(53-15)
La solution de (53-15) est :
(53-16)
qui doit être périodique de période 2 p, donc :
(53-17)
(53-18)
L'équation (53-14) devient :
(53-19)
dont la solution générale fait appel aux fonctions de Bessel :
(53-20)
J : fonction de Bessel de première espèce
Y : fonction de Bessel de seconde espèce
Figure 53-2 Fonction de Bessel de première espèce
Figure 53-3 Fonction de Bessel de seconde espèce
On constate que la seconde fonction de Bessel est infinie en 0 ce qui impose que D=0 dans l'équation (53-20), il reste donc :
(53-21)
Ce qui permet d'écrire les composantes des modes TE
(53-23)
(53-24)
(53-25)
(53-26)
(53-27)
Il convient de prendre en compte la condition à la limite r = R pour laquelle la composante tangentielle de champ électrique doit être nulle.
Eq (R) = 0 (53-28)
ce qui impose :
(53-28)
La relation (53-28) permet de déterminer les longueurs d'onde de coupure :
(53-29)
Figure 53-4 : Zéro des dérivées des fonctions de Bessel de première espèce
La figure 53-4 permet de déterminer les longueurs d'onde de coupure, en fonction de l'ordre :
(53-30)
En rappelant la condition de propagation sans perte
(53-31)
avec :
(53-32)
Ondes transverses magnétiques. Hz=0
Un calcul identique au cas des ondes TE conduit à :
(53-33)
(53-34)
(53-35)
(53-36)
(53-37)
Il convient de prendre en compte la condition à la limite r = R pour laquelle la composante tangentielle de champ électrique doit être nulle.
Eq (R) = 0 (53-38)
ce qui impose :
(53-39)
La relation (53-39) permet de déterminer les longueurs d'onde de coupure :
(53-40)
Figure 53-5 : Zéro des fonctions de Bessel de première espèce
La figure 53-5 permet de déterminer les longueurs d'onde de coupure, en fonction de l'ordre :
(53-41)
En rappelant la condition de propagation sans perte
(53-31)
avec :
(53-32)
Les modes de propagation
Mode 01
Pas de mode TE 01 seul le mode TM01 a des composantes non nulles :
Mode TM01 : 
(53-42)
Modes 11
Mode TE11 : 
(53-43)
Mode TM11 : 
(53-44)
Modes m,n m et n >1
Ilexiste les modes TEmn et TMmn
Figure 53-6 Modes de propagation
Le mode dominant TE11
Le mode dominant est le mode TE11 dont la longueur d'onde de coupure est donnée par (53-43)
Les composantes correspondantes du Champ EM s'écrivent :
(53-45)
(53-46)
(53-47)
(53-48)
(53-49)
(53-50)
Figure 53-7 Carte des champs du mode TE11
Malheureusement le mode dominant n'a pas la symétire de révolution, c'est le mode TM01 qui lest le permier des modes qui possède cette symétrie.
Premier mode à symétrie de révolution TM01
(53-51)
(53-52)
(53-54)
(53-55)
(53-56)
(53-57)
Figure 53-8 Carte des champs du mode TM01