6-3 : TRANSFORMATION CONFORME

La transformation conforme est un outil mathématique qui permet dans certaine condition de déterminer l'impédance catractérique des lignes fonctionnant en régime TEM.

En effet, en régime TEM, le champs électrique dans la ligne à la même distribution qu'en régime statique.

Principe : Propriétés des fonctions analytiques d'une variable complexe

Considérons une fonction telle que :

(63-1)

alors :

et (63-2)

ce qui entraîne que :

(63-3)

Or, résoudre un problème d'électrostique revient à calculer le potentiel en tous points en tenant compte des conditions aux limites, sachant que le potentiel répond à l'éqution de Laplace :

(63-4)

Application :

Figure 63-1 Transformation conforme

On choisit par exemple X comme fonction potentiel car

  (63-5)

Les courbes

  (63-6)

représentent les équipotentielles tandis que les courbes

(63-7)

représentent les lignes de champs.

La différence de potentiel entre les deux électrodes est donc :

(63-8)

Calculons la charge portée par une électrode, nous savons que la densité de charge est :

(63-9)

or,

(63-10)

donc :

(63-11)

donc :

(63-12)

et la charge Q portée par une électrode entre Y1 et Y2 est :

  (63-13)

et donc la capacité entre les deux électrode est :

(63-14)

Or, nous avons montré (62-22) que pour une ligne utilisée en mode TEM nous avions :

(63-15)

nous en déduisons que :

(63-16)

Or, nous avons montré (62-24) que l'impédance caractéristique de la ligne est donnée par

(63-17)

nous en déduisons que :

(63-18)

Pour calculer l'impédance caractéristique d'une ligne, il suffit de touver la bonne transformation conforme.

Exemple : Calcul de l'impédance caractéristique d'une ligne coaxiale

Figure 63-2 Ligne coaxiale

La symétrie de révolution de la ligne impose que les équipotentielles soient de la forme :

(63-19)

On va donc choisir :

(63-20)

soit :

(63-21)

Pour obtenir une fonction analytique, il suffit de choisir :

(63-22)

ce qui donne :

(63-23)

Les équipotentielles x = cste sont données par (63-19) soit :

(63-24)

Les courbes Y = cste correspondes aux lignes de champ électrique, (63-20) permet d'écrire :

(63-25)

se sont des lignes radiales.

La capacité linéique se calcule par (63-14) avec :

(63-26)

Pour un tour complet autour du conducteur central

avec :

(63-27)

soit :

(63-28)

ce qui donne :

(63-29)

Ce qui permet de calculer l'impédance caractéristique par (63-18)

(63-30)